Плод скуки

Зарядка, переставая причинять сколько-то заметные физ. и мор. страдания, становится скучна. Пытаясь избавиться от полуторачасовой скуки, ум занимает себя чем ни попадя. Например:

Есть ли способ быстро подсчитать число сочетаний элементов одного и того же множества друг с другом? Причём я хочу исключить тавтологию (сочетание каждого элемента с самим собой).

Без зарядки этот способ не найти, потому что мысли перескакивают с пятого на десятое ;-) .

Число элементов множества = n. У каждого, конечно, такое же число связей, как у других, но после рассмотрения связей первого мы, чтобы не повторяться, должны будем исключить из рассмотрения связей второго связь первого со вторым, и т. д., поэтому число рассматриваемых связей составит у первого элемента n-1, у второго n-2 и т. д. Когда достигнем последнего элемента, нерассмотренных связей совсем не останется.

1. n чётное.

Например, у нас 10 элементов.

Тут удобно действовать, как мальчик в математическом анекдоте для младшеклассников: число связей первого элемента (n-1) сложим с числом связей последнего (0), и так пойдём парами от краёв к центру, получая одно и то же число:

9+0, 8+1, 7+2, 6+3, 5+4.

Это значит, что общее число связей внутри множества из 10 элементов равно 9·5, то есть (n-1), умноженное на половину n.

2. Что делать, если n нечётное?

Например, n=9.

Складывая от концов к середине, получаем везде то же (n-1), а в конце довесок:

8+0, 7+ 1, 6+2, 5+3 и отдельно 4.

По счастью, довесок, в данном случае 4, составляет половину (n-1), в данном случае восьмёрки.

Получается, что общее число связей равно четырежды восемь плюс половина восьмёрки, то есть (n-1):2·(n-1)+(n-1):2.

А это всё равно, что (n-1+1)·(n-1):2, то есть (n-1), умноженное на n и делёное на два.

Значит, и при чётном, и при нечётном n формула одинакова.

Хорошо ;-) !

...Фокус в том, что в формуле n·(n-1):2 обязательно окажется один чётный множитель, который и обеспечит деление на два без остатка. Ведь если n чётное, то (n-1) нечётное, и наоборот.

Можно нарисовать простейшие фигуры, треугольник, квадрат, пятиугольник, чтобы зрительно проверить общее число связей между их вершинами, представляющими элементы множества.

Вроде ошибки нет.